如何向数学小白解释PCA（主成分分析）算法
主成分分析（PCA，Principal Componet Analysis）是数据科学中用于可视化和降维的必不可少的工具，但它通常被复杂的数学所掩盖。至少可以说，要理解其原理是非常困难的，导致很难完全欣赏到它的美妙之处。
虽然公式对于证明一个概念的有效性很重要，但我认为同样重要的是通过一个故事来分享公式背后的叙述。
什么是PCA
主成分分析（PCA）是一种将高维数据转换为低维数据的技术，同时尽可能保留更多的信息。如下图的三维转二维效果图：
PCA在处理具有大量特征的数据集时非常有用。常见的应用，如图像处理和基因组研究，往往需要处理成千上万甚至数万个列。
虽然拥有更多数据通常是好的，但有时数据中包含的信息过多，会导致模型训练时间极长，并且维度灾难开始成为问题。在这种情况下，减少维度可能会更有效。
我喜欢将PCA与写书总结进行比较。
找到时间阅读一本1000页的书是一种少有人能享受的奢侈。如果我们能在2到3页内总结出最重要的要点，让即使是最忙碌的人也能轻松消化这些信息，那不是很好吗？在这个过程中我们可能会丢失一些信息，但至少我们能抓住整体概貌。
PCA工作原理
这是一个两步过程。如果我们没有阅读或理解书的内容，就无法写出有效的书总结。
PCA的工作原理也一样——先理解，然后总结。
以PCA的方式理解数据
人类通过富有表现力的语言来理解故事书的意义。不幸的是，PCA不会开口讲话。它必须通过它偏好的语言——数学，来从我们的数据中寻找意义。
这里的关键问题是……
PCA能理解我们数据的哪个部分是重要的吗？我们能否用数学方法量化数据中嵌入的信息量？嗯，方差可以。
方差越大，信息量越多；反之亦然。
对大多数人来说，方差并不是一个陌生的术语。我们在高中时学过，方差衡量的是每个点与均值的平均差异程度。
方差公式：
但是方差从未与信息联系在一起。那么这种关联是从哪里来的？为什么这种关联有意义呢？
假设我们和朋友们玩一个猜谜游戏。游戏很简单。朋友们会遮住脸，我们需要仅根据他们的身高来猜出他们是谁。作为好朋友的我们，记得每个人的身高。
我先猜吧！
毫无疑问，我会说A是Chris，B是Alex，C是Ben。
现在，让我们试着猜一组不同的朋友。
轮到你来猜了！
你能猜出谁是谁吗？当他们的身高非常相似时，这就变得很难了。
之前，我们毫不费力地区分出了一个185厘米的人和160厘米、145厘米的人，因为他们的身高差异很大。
同样地，当我们的数据具有更高的方差时，它包含的信息就更多。这就是为什么我们总是把PCA和最大方差放在同一个句子中。我想通过引用维基百科的一段话来正式说明这一点。
主成分分析（PCA）被定义为一种正交线性变换，它将数据转换到一个新的坐标系统中，使得数据的最大方差通过某种标量投影落在第一个坐标上（称为第一主成分），第二大方差落在第二个坐标上，依此类推。
在PCA看来，方差是一种量化我们数据中信息量的客观数学方法。
方差就是信息。
为了进一步说明这一点，我建议重新进行猜谜游戏，不过这次我们将根据身高和体重来猜出谁是谁。
第2回合！
一开始，我们只有身高数据。现在，我们基本上增加了一倍的朋友数据。这会改变你的猜测策略吗？
这是一个很好的引入，进入下一部分——PCA如何总结我们的数据，或更准确地说，如何降低数据的维度。
以PCA的方式总结数据
就我个人而言，体重差异太小（即小方差），对区分我们的朋友没有任何帮助。我仍然主要依靠身高来做出猜测。
直观地说，我们刚刚将数据从二维减少到一维。这个想法是我们可以选择性地保留方差较大的变量，然后忘记方差较小的变量。
但是，如果身高和体重具有相同的方差呢？这是否意味着我们不能再降低这个数据集的维度？我想用一个示例数据集来说明这一点。
我们计算上图每个维度的方差：
在这种情况下，很难选择我们想要删除的变量。如果我丢掉其中一个变量，就等于丢掉了一半的信息。
我们能保留两个变量吗？
也许，从不同的角度来看。最好的故事书总是有隐藏的主题，这些主题并不是直接写出来的，而是暗示的。单独阅读每一章可能没什么意义，但如果我们读完整本书，就能拼凑出足够的背景——潜在的情节就会浮现出来。
到目前为止，我们只是单独看了身高和体重的方差。与其限制自己只能选择一个，为什么不把它们结合起来呢？
当我们仔细观察我们的数据时，最大方差不在 x 轴，也不在 y 轴，而是在一条对角线上。第二大方差将是一条与第一条对角线垂直的线。
如下图的虚线表示最大方差的方向：
为了表示这两条线，PCA 将身高和体重结合起来，创建两个全新的变量。它可以是 30% 的身高和 70% 的体重，或 87.2% 的身高和 13.8% 的体重，或根据我们拥有的数据的任何其他组合。
这两个新变量分别称为第一个主成分（PC1，first Principal Component）和第二个主成分（PC2，second Principal Component）。我们可以使用 PC1 和 PC2 分别作为两个坐标轴，而不是使用身高和体重。
如下图，左图是以高和宽为轴的数据分布，右图是以PC1和PC2为轴的数据分布。
经过这一系列操作后，让我们再看看两者的方差对比。
如下图，左图的宽高方差相同，右图是经过PCA转换后以PC1和PC2为轴的数据分布，PC1轴的方差较大，PC2轴的方差为0.
方差表格对比：
如上图，PC1 单独就能捕捉到身高和体重的总方差。由于 PC1 包含了所有信息，你已经知道了这一点——我们可以非常放心地删除 PC2，并且知道我们的新数据仍然能代表原始数据。
当涉及到真实数据时，通常不会有一个主成分能捕捉到 100% 的方差。执行 PCA 会给我们 N 个主成分，其中 N 等于我们原始数据的维度。从这些主成分中，我们通常会选择最少数量的主成分来解释最多的原始数据。
我们使用视觉工具Scree Plot可视化主成分和方差的关系：
条形图告诉我们每个主成分解释的方差比例。另一方面，叠加的折线图给出了截至第 N 个主成分的累积解释方差之和。理想情况下，我们希望用 2 到 3 个主成分就能获得至少 90% 的方差，这样可以保留足够的信息，同时我们仍然可以在图表上可视化数据，如上图，我觉得使用 2 个主成分是很合适的。
主成分分析丢失了哪些信息
因为我们没有选择所有的主成分，所以不可避免地会丢失一些信息。但我们还没有确切地描述我们丢失了什么。让我们通过一个新的示例更深入地探讨一下。
上图的数据点尽管是分散的，但我们仍然可以看到它们在对角线上存在一定的正相关。
如果我们将数据输入 PCA 模型，它会首先绘制第一主成分，然后绘制第二主成分。当我们将原始数据从二维变换到二维时，除了方向以外，其他一切都保持不变。我们只是旋转了数据，使得最大方差位于 PC1 中，这并没有什么新奇之处。
如上图，左图的虚线表示第一主成分和第二主成分的方向，右图是将左图的轴进行旋转，使的最大方差落在PC1（X轴）和PC2（Y轴）方向。
然而，假设我们决定只保留第一主成分，我们将不得不将所有数据点投影到第一主成分上，因为我们不再有 y 轴。
如上图，左图的虚线表示第一主成分和第二主成分的方向，由于我们移除了第二主成分，右图所有的点都位于虚线上，因此我们将会失去的是第二主成分中的距离，如下方用红色线条突出显示的部分。
这对每个数据点的距离有影响，如果我们查看两个特定点之间的欧几里得距离（即成对距离），你会发现一些点在原始数据中比在变换后的数据中要远得多。左图的红色线条是PCA转换前的距离，右图的红色线条是PCA转换后的距离，我们可以看到距离发生了改变。
PCA 是一种线性变换，因此本身不会改变距离，但当我们开始去除维度时，距离会被扭曲。
但并非所有的成对距离都会受到相同的影响，如果我们选择两个最远的点，你会发现它们几乎是平行于主轴的。尽管它们的欧几里得距离仍然被扭曲，但扭曲的程度要小得多。如下图的红色线条，转换前后的距离只发生了细微的变化。
主成分轴是在方差最大的方向上绘制的。根据定义，当数据点之间的距离更远时，方差会增加。因此，自然地，距离最远的点会更好地与主轴对齐。
总而言之，使用 PCA 降维会改变数据的距离。它以最大方差的原理进行PCA转换，使得大数据对对之间的距离比小数据对之间的距离保留得更好。
这是使用 PCA 降维的一些缺点之一，有时使用原始数据运行算法可能更有利。在这种情况下，数据科学家需要根据数据和使用场景做出决策。
PCA算法的Python实现
真正欣赏 PCA 的美丽，只有亲身体验才能做到，我们编码实现之前讲述的内容。首先，我们来处理一些导入操作，并生成我们将要使用的数据。
import pandas as pd
import numpy as np
# 生成数据包
from sklearn.datasets import make_blobs
# PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
# 数据可视化
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import plotly.express as px
产生数据集：
# 产生包含三个特征的三个簇的数据
X, y = make_blobs(n_samples=1000, centers=3, n_features=3, random_state=0, cluster_std=[1,2,3], center_box=(10,65))
# 数据归一化
X = StandardScaler().fit_transform(X)
# Prepare the array in a DataFrame
col_name = ['x' + str(idx) for idx in range(0, X.shape[1])]
df = pd.DataFrame(X, columns=col_name)
df['cluster_label'] = y
df.head()
我们的示例数据集包含 3 个变量 — x0、x1 和 x2，它们的分布方式使得数据点聚集在 3 个不同的簇中。cluster_label 指示了数据点所属的簇。
数据可视化：
# 数据可视化
colors = px.colors.sequential.Plasma
colors[0], colors[1], colors[2] = ['red', 'green', 'blue']
fig = px.scatter_3d(df, x='x0', y='x1', z='x2', color=df['cluster_label'].astype(str), color_discrete_sequence=colors, height=500, width=1000)
fig.update_layout(showlegend=False,
scene_camera=dict(up=dict(x=0, y=0, z=1),
center=dict(x=0, y=0, z=-0.1),
eye=dict(x=1.5, y=-1.4, z=0.5)),
margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0),
scene=dict(xaxis=dict(backgroundcolor='white',
color='black',
gridcolor='#f0f0f0',
title_font=dict(size=10),
tickfont=dict(size=10)),
yaxis=dict(backgroundcolor='white',
color='black',
gridcolor='#f0f0f0',
title_font=dict(size=10),
tickfont=dict(size=10)),
zaxis=dict(backgroundcolor='lightgrey',
color='black',
gridcolor='#f0f0f0',
title_font=dict(size=10),
tickfont=dict(size=10))))
fig.update_traces(marker=dict(size=3, line=dict(color='black', width=0.1)))
fig.show()
我们尝试降低维度，幸运的是，Sklearn 使得执行 PCA 非常简单。虽然我们用超过 2000 字解释了 PCA，但运行它只需要 3 行代码。
# 执行PCA
pca = PCA()
_ = pca.fit_transform(df[col_name])
PC_components = np.arange(pca.n_components_) + 1
这里有几个要点。当我们将数据拟合到 Sklearn 的 PCA 函数时，它会完成所有繁重的工作，返回一个 PCA 模型和转换后的数据。
模型提供了许多属性，例如特征值、特征向量、原始数据的均值、解释的方差，等等。如果我们想了解 PCA 对数据的处理，这些都是非常有用的。
我想特别强调一个属性，即 pca.explained_variance_ratio_，它告诉我们每个主成分解释的方差比例。我们可以通过 Scree Plot图来可视化这个比例。
# Scree Plot
_ = sns.set(style='whitegrid', font_scale=1.2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 7))
_ = sns.barplot(x=PC_components, y=pca.explained_variance_ratio_, color='b')
_ = sns.lineplot(x=PC_components-1, y=np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_), color='black', linestyle='-', linewidth=2, marker='o', markersize=8)
plt.title('Scree Plot')
plt.xlabel('N-th Principal Component')
plt.ylabel('Variance Explained')
plt.ylim(0, 1)
plt.show()
上面图表告诉我们，使用 2 个主成分而不是 3 个是可以的，因为这两个主成分可以捕获 90% 以上的方差。
此外，我们还可以查看每个主成分所创建的变量组合，使用 pca.components_。我们可以用热图来展示这些组合。
# Feature Weight
_ = sns.heatmap(pca.components_**2,
yticklabels=["PCA"+str(x) for x in range(1,pca.n_components_+1)],
xticklabels=list(col_name),
annot=True,
fmt='.2f',
square=True,
linewidths=0.05,
cbar_kws={"orientation": "horizontal"})
在我们的示例中，我们可以看到 PCA1 由 34% 的 x0、30% 的 x1 和 36% 的 x2 组成。PCA2 主要由 x1 主导。
Sklearn 提供了许多其他有用的属性。如果你感兴趣，我建议查看 Sklearn 文档中 PCA 的属性部分。
现在我们对主成分有了更好的理解，我们可以最终决定要保留多少个主成分。在这种情况下，我觉得 2 个主成分已经足够了。
所以，我们可以重新运行 PCA 模型，这次使用 n_components=2 参数，这告诉 PCA 只保留前 2 个主成分。
# 保留两个主成分
pca = PCA(n_components=2)
pca_array = pca.fit_transform(df)
# 使用dataframe保存数据
df_pca = pd.DataFrame(data=pca_array)
df_pca.columns = ['PC' + str(col+1) for col in df_pca.columns.values]
df_pca['label'] = y
df_pca.head()
返回一个包含前两个主成分的 DataFrame。最后，我们可以绘制散点图来可视化我们的数据。
# 主成分可视化
_ = sns.set(style='ticks', font_scale=1.2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 7))
_ = sns.scatterplot(data=df_pca, x='PC1', y='PC2', hue=df_pca['label'], palette=['red', 'green', 'blue'])
左图是原始数据集的散点图，右图是经过PCA转换后，只保留前两个主成分的数据散点图。
最后发言
PCA是一个数学上很漂亮的概念，我希望我能够用一种随意的语气来传达它，这样就不会让人感到不知所措。
升华一下，下面这段视频应该很好的解释了PCA算法：
对于那些渴望了解细节的人，我后面会写相关的博文。感谢大家的关注！