SymPy：学习数学的得力助手

SymPy 是一个用于符号型数学计算的 Python 库，它的目标是成为一个功能齐全的计算机代数系统 (CAS)，同时保持代码尽可能简单，以便易于理解和扩展。

SymPy 可以进行数学表达式的符号计算、代数运算、微积分、方程求解、矩阵运算、绘图等多种功能。

我们先来使用 SymPy 计算 Sigmoid 函数。也就是根据这篇中的公式计算如下微分方程，

使用 SymPy 只需要数行就能搞定。
from sympy import *

# 定义符号
t = symbols('t')
f = symbols('f', cls=Function)
# 定义微分方程
eq = Eq(f(t).diff(t),  f(t)*(1-f(t)))
# 求解带初始条件的微分方程
f_sol = dsolve(eq, ics={f(0): 1/2})

print(f_sol)
# 绘制微分方程的解
plot(f_sol.rhs, (t, -10, 10))

Eq(f(t), 1/(1 + 1.0*exp(-t)))

以上代码中我们取 。

怎么样，是不是很好用。其实你也可以改动微分方程来设计自己的激活函数。

好了，演示完毕，进入正题。

微积分运算

SymPy 提供了一些常见的微积分运算函数，例如：

• diff 函数可以对符号表达式进行求导，也可以求偏导数和高阶导数。
• integrate 函数可以对符号表达式进行积分，也可以求定积分和多重积分。
• limit 函数可以计算符号表达式的极限，也可以求一侧极限和无穷极限。
• solve 函数可以解决符号方程，也可以求解微分方程和方程组。

要使用 SymPy，需要先安装并导入它，然后使用 symbols 函数创建符号变量，例如：

from sympy import *
x, y = symbols('x y')

然后你就可以对符号变量进行各种运算，例如：

展开 (x + 1)^2

expand((x + 1)**2)
# 输出 x<em>*2 + 2</em>x + 1

求导 sin(x)

diff(sin(x), x)
# 输出 cos(x)

求二阶导

f = x<em>*2 + 2</em>x + 1

# 二阶导数
ddf = diff(f, x, 2) 
ddf
# 输出 2

求极限 lim(x->0) sin(x)/x

limit(sin(x)/x, x, 0)
# 输出 1

求积分 int(x^2, x)

integrate(x**2, x)
# 输出 x**3/3

SymPy 还可以将数学表达式转换为 LaTeX 代码，方便在文档中显示，例如：

# 将 x^2 + 2*x + 1 转换为 LaTeX 代码
latex(x<em>*2 + 2</em>x + 1)

'x^{2} + 2 x + 1'

SymPy 支持的数学函数

SymPy 支持多种数学函数，包括：

• 常用的标准函数，如三角函数、指数函数、对数函数、绝对值函数等。
• 特殊的数学函数，如 函数、Bessel 函数、误差函数、超几何函数等。
• 自定义函数，如 等。

你可以使用 Function 类来创建自定义函数，也可以使用 symbols 函数来指定某个符号为函数类型。例如：

# 使用 Function 类创建自定义函数
f = Function('f')
f(x)

# 使用 symbols 函数指定 g 为函数类型
g = symbols('g', cls=Function)
g(x)

SymPy 支持的数学常量

SymPy 支持多种数学常量，例如：

• pi：圆周率，约等于 3.14159。
• E：自然对数的底数，约等于 2.71828。
• I：虚数单位，满足 I**2 = -1。
• oo：正无穷大，满足 oo > x 对任意有限的 x 成立。
• zoo：复数无穷大，满足 zoo + x = zoo 对任意有限的 x 成立。
• nan：非数值，表示未定义的数学表达式。
• GoldenRatio：黄金比例，约等于 1.61803。
• EulerGamma：欧拉常数，约等于 0.57722。
• Catalan：卡塔兰常数，约等于 0.91597。

可以使用这些常量来构建数学表达式或函数，例如：

# 计算 sin(pi/4)
sin(pi/4)
# 输出 sqrt(2)/2

# 计算 e^i*pi
E<em>*(I</em>pi)
# 输出 -1

# 计算 limit((1 + 1/n)**n, n, oo)
n = symbols('n')
limit((1 + 1/n)**n, n, oo)
# 输出 E

SymPy 求导应用

SymPy 可以用来求解神经网络里的反向传播问题，即根据损失函数对网络参数进行梯度下降更新。

例如，以下代码将构建一个简单的神经网络，包含一个输入层、一个隐藏层和一个输出层，使用 sigmoid 激活函数和均方误差损失函数，然后对网络参数进行反向传播更新：

from sympy import *

# 定义符号变量
x, y = symbols('x y') # 输入和输出

w1, w2, b1, b2 = symbols('w1 w2 b1 b2') # 权重和偏置

alpha = symbols('alpha') # 学习率

# 定义神经网络
z1 = w1 * x + b1        # 隐藏层的线性部分
a1 = 1 / (1 + exp(-z1)) # 隐藏层的激活部分，使用 sigmoid 函数
z2 = w2 * a1 + b2       # 输出层的线性部分
a2 = 1 / (1 + exp(-z2)) # 输出层的激活部分，使用 sigmoid 函数

# 定义损失函数
L = (y - a2)**2 / 2     # 使用均方误差作为损失函数

# 对网络参数求偏导数
dLdw1 = diff(L, w1)     # 损失函数对 w1 的偏导数
dLdw2 = diff(L, w2)     # 损失函数对 w2 的偏导数
dLdb1 = diff(L, b1)     # 损失函数对 b1 的偏导数
dLdb2 = diff(L, b2)     # 损失函数对 b2 的偏导数

# 更新网络参数
w1_new = w1 - alpha * dLdw1 # 使用梯度下降法更新 w1
w2_new = w2 - alpha * dLdw2 # 使用梯度下降法更新 w2
b1_new = b1 - alpha * dLdb1 # 使用梯度下降法更新 b1
b2_new = b2 - alpha * dLdb2 # 使用梯度下降法更新 b2

# 打印更新后的网络参数
print(w1_new)
print(w2_new)
print(b1_new)
print(b2_new)

SymPy 中的微分方程求解

SymPy 提供了一个通用的微分方程求解工具 dsolve，它能够找到许多基本微分方程的解析解。

dsolve 可以用来符号化地求解一阶和高阶微分方程，以及具有较少未知函数的一阶线性常微分方程组。

要使用 dsolve，需要遵循以下基本步骤：

• 定义符号变量：首先，你需要定义用于表示未知函数和变量的符号。在 SymPy 中，可以使用 Symbol 或 symbols 函数来定义符号变量。例如，可以使用 x = symbols('x') 来定义一个名为 x 的符号变量。

• 定义微分方程：其次，你需要将微分方程表示为符号表达式。在 SymPy 中，可以使用 Eq 函数来表示等式，使用 Derivative 函数来表示导数。例如，可以使用 eq = Eq(Derivative(f(x), x) + f(x), x**2) 来表示如下微分方程

• 求解微分方程：一旦你定义了微分方程，就可以使用 dsolve 函数来求解微分方程。该函数将返回一个表示微分方程的解的符号表达式。例如，可以使用 solution = dsolve(eq, f(x)) 来求解上述微分方程的解。

• 带初始条件：对于一般的微分方程，解中通常包含一些常数，如 等。为了获得特定的解，你需要为方程提供初始条件。在 SymPy 中，可以使用 ics 参数来指定初始条件。例如，可以使用 solution = dsolve(eq, f(x), ics={f(0): 3}) 来求解上述微分方程在初始条件 下的解。

• 计算特定解：最后，你可以使用 subs 函数将初始条件代入所获得的一般解中，得到特定的解。例如，可以使用 solution.subs(x, 0) 来计算上述微分方程的解在 时的值。

x = symbols('x')
eq = Eq(Derivative(f(x), x) + f(x), x**2)
solution = dsolve(eq, f(x))
solution

solution_ics = dsolve(eq, f(x), ics={f(0): 3})
solution_ics

solution_ics.subs(x, 0)

SymPy 的绘图功能

SymPy 提供了一个简单而强大的绘图模块，可以绘制各种类型的二维和三维图形。

SymPy 使用 Matplotlib 作为绘图后端，因此你需要安装 Matplotlib 才能使用 SymPy 的绘图功能。

SymPy 的绘图模块包含了以下几种主要的绘图函数：

• plot：绘制二维线状图，可以绘制一个或多个符号表达式或函数。
• plot_parametric：绘制二维参数图，可以绘制一个或多个参数化的曲线。
• plot_implicit：绘制二维隐式图或区域图，可以绘制一个或多个隐式方程或不等式。
• plot3d：绘制三维线状图，可以绘制一个或多个符号表达式或函数。
• plot3d_parametric_line：绘制三维参数线图，可以绘制一个参数化的空间曲线。
• plot3d_parametric_surface：绘制三维参数曲面图，可以绘制一个参数化的曲面。

要使用 SymPy 的绘图功能，你需要遵循以下基本步骤：

• 导入绘图模块：首先，从 SymPy 中导入绘图模块，例如 from sympy.plotting import plot。
• 定义符号变量：其次，定义用于表示未知函数和变量的符号。在 SymPy 中，可以使用 Symbol 或 symbols 函数来定义符号变量，例如 x = symbols('x')。
• 调用绘图函数：最后，根据需求调用相应的绘图函数，传入符号表达式或函数，以及可选的范围和参数，例如 plot(x**2, (x, -5, 5), title='y = x^2')。

下面是一些使用 SymPy 绘图功能的示例：

绘制二维线状图

要绘制二维线状图，可以使用 plot 函数，传入一个或多个符号表达式或函数，以及可选的范围和参数。例如，以下代码将绘制 和 的图像，并设置标题和图例：

from sympy import *
from sympy.plotting import plot

x = symbols('x')
plot(x<strong>2, x</strong>3, (x, -5, 5), title='y = x^2 and y = x^3', legend=True)

绘制二维参数图

要绘制二维参数图，可以使用 plot_parametric 函数，传入一个或多个参数化的曲线，以及可选的范围和参数。例如，以下代码将绘制一个类似无穷大符号的图像，并设置标题和图例：

from sympy import *
from sympy.plotting import plot_parametric

t = symbols('t')
plot_parametric(2<em>cos(t), sin(2</em>t), (t, 0, 2*pi), title='Circle and Ellipse', legend=True)

绘制二维隐式图或区域图

要绘制二维隐式图或区域图，可以使用 plot_implicit 函数，传入一个或多个隐式方程或不等式，以及可选的范围和参数。例如，以下代码将绘制 和 的图像，并设置标题和图例：

from sympy import *
from sympy.plotting import plot_implicit

x, y = symbols('x y')
plot_implicit(Eq(x<strong>2 + y</strong>2, 5), (x, -4, 4), (y, -4, 4), depth = 0.6, title='Implicit Curves')

绘制三维线状图

要绘制三维线状图，可以使用 plot3d 函数，传入一个或多个符号表达式或函数，以及可选的范围和参数。例如，以下代码将绘制 和 的图像，并设置标题和图例：

from sympy import *
from sympy.plotting import plot3d
x, y = symbols('x y')

plot3d(x<strong>2 - y</strong>2, (x, -5, 5), (y, -5, 5), title='3D Surfaces')

plot3d(x<strong>2 + y</strong>2, (x, -5, 5), (y, -5, 5), title='3D Surfaces')

绘制三维参数线图

要绘制三维参数线图，可以使用 plot3d_parametric_line 函数，传入一个参数化的空间曲线，以及可选的范围和参数。例如，以下代码将绘制一个螺旋线的图像，并设置标题和图例：

from sympy import *
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

t = symbols('t')
plot3d_parametric_line(cos(t), sin(t), t, (t, 0, 10*pi), title='3D Parametric Line', legend=True)

绘制三维参数曲面图

要绘制三维参数曲面图，可以使用 plot3d_parametric_surface 函数，传入一个参数化的曲面，以及可选的范围和参数。例如，以下代码将绘制一个球面的图像，并设置标题和图例：

from sympy import *
from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface

u, v = symbols('u v')

plot3d_parametric_surface(cos(u)<em>sin(v), sin(u)</em>sin(v), cos(v), (u, 0, 2*pi), (v, 0, pi), title='3D Parametric Surface')

好了，是不是觉得 SymPy 挺强大呢！赶紧去安装吧。

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