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7.7 AdaDelta 算法 ​

除了 RMSProp 算法以外，另一个常用优化算法 AdaDelta 算法也针对 AdaGrad 算法在迭代后期可能较难找到有用解的问题做了改进 [1]。有意思的是，AdaDelta 算法没有学习率这一超参数。

7.7.1 算法 ​

AdaDelta 算法也像 RMSProp 算法一样，使用了小批量随机梯度 gt\boldsymbol{g}_t 按元素平方的指数加权移动平均变量 st\boldsymbol{s}_t。在时间步 0，它的所有元素被初始化为 0。给定超参数 0≤ρ<10 \leq \rho < 1(对应 RMSProp 算法中的 γ\gamma)，在时间步 t>0t>0，同 RMSProp 算法一样计算

st←ρst−1+(1−ρ)gt⊙gt.\boldsymbol{s}_t \leftarrow \rho \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.

与 RMSProp 算法不同的是，AdaDelta 算法还维护一个额外的状态变量 Δxt\Delta\boldsymbol{x}_t，其元素同样在时间步 0 时被初始化为 0。我们使用 Δxt−1\Delta\boldsymbol{x}_{t-1} 来计算自变量的变化量：

gt′←Δxt−1+ϵst+ϵ⊙gt,\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \sqrt{\frac{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + \epsilon}{\boldsymbol{s}_t + \epsilon}} \odot \boldsymbol{g}_t,

其中 ϵ\epsilon 是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 10−510^{-5}。接着更新自变量：

xt←xt−1−gt′.\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}'_t.

最后，我们使用 Δxt\Delta\boldsymbol{x}_t 来记录自变量变化量 gt′\boldsymbol{g}'_t 按元素平方的指数加权移动平均：

Δxt←ρΔxt−1+(1−ρ)gt′⊙gt′.\Delta\boldsymbol{x}_t \leftarrow \rho \Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}'_t \odot \boldsymbol{g}'_t.

可以看到，如不考虑 ϵ\epsilon 的影响，AdaDelta 算法跟 RMSProp 算法的不同之处在于使用 Δxt−1\sqrt{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1}} 来替代学习率 η\eta。

7.7.2 从零开始实现 ​

AdaDelta 算法需要对每个自变量维护两个状态变量，即 st\boldsymbol{s}_t 和 Δxt\Delta\boldsymbol{x}_t。我们按 AdaDelta 算法中的公式实现该算法。

python
%matplotlib inline
import torch
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l

features, labels = d2l.get_data_ch7()

def init_adadelta_states():
    s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    delta_w, delta_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta) in zip(params, states):
        s[:] = rho * s + (1 - rho) * (p.grad.data**2)
        g =  p.grad.data * torch.sqrt((delta + eps) / (s + eps))
        p.data -= g
        delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g

使用超参数 ρ=0.9\rho=0.9 来训练模型。

python
d2l.train_ch7(adadelta, init_adadelta_states(), {'rho': 0.9}, features, labels)

输出：

loss: 0.243728, 0.062991 sec per epoch

7.7.3 简洁实现 ​

通过名称为 Adadelta 的优化器方法，我们便可使用 PyTorch 提供的 AdaDelta 算法。它的超参数可以通过 rho 来指定。

python
d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adadelta, {'rho': 0.9}, features, labels)

输出：

loss: 0.242104, 0.047702 sec per epoch

小结 ​

  • AdaDelta 算法没有学习率超参数，它通过使用有关自变量更新量平方的指数加权移动平均的项来替代 RMSProp 算法中的学习率。

参考文献 ​

[1] Zeiler, M. D. (2012). ADADELTA: an adaptive learning rate method. arXiv preprint arXiv:1212.5701.

注：除代码外本节与原书此节基本相同，原书传送门